Могут ли работать аспиранты очной формы обучения?

Смотря как посмотреть. При большом желании, можно. Объясню почему. Нет специального нормативного акта, в котором содержится прямое ограничение на трудовую деятельность аспирантов, обучающихся с отрывом от производства, следовательно отсутствует и единообразное толкование законодательства по этому вопросу.

Но с другой стороны,суть очной аспирантуры состоит в том, что аспирант сосредотачивает все усилия на научно-исследовательской деятельности и подготовке диссертации, и отвлечение на параллельную трудовую деятельность, особенно на условиях полной ставки, во многих случаях делает невозможным успешное окончание аспирантуры. Возможно, именно поэтому на уровне решений ученых советов вузов нередко проводится запрет на любую трудовую деятельность аспирантов первого года обучения, обучающихся с отрывом от производства.

Должна ли трудовая книжка находиться в университете во время обучения в аспирантуре на очной форме? На каком основании университет может потребовать сдать трудовую книжку при зачислении в аспирантуру на очную форму?

И еще, можно ли каким-то образом оставить трудовую книжку на руках при зачислении в очную аспирантуру?

Вы работаете?
В случае если работник, поступивший в учреждение образования, обеспечивающее получение профессионально-технического, среднего специального или высшего образования в дневной форме получения образования, продолжает работать в организации на условиях неполного рабочего времени, то его трудовая книжка хранится в организации (наниматель), так как постановлением Совета Министров Республики Беларусь от 10.12.1997 N 1635 "О трудовых книжках работников" ответственность за организацию работы и контроля по ведению, учету, хранению и выдаче трудовых книжек возложена на специально уполномоченное лицо, назначаемое приказом (распоряжением) нанимателя.
Никто запретить Вам работать не может. Придите и скажите, что работаете, поэтому трудовую книжку сдавать не будете.

В извещении о зачислении в аспирантуру написано - уволиться с работы и сдать трудовую книжку. Это меня к чему то реально обязывает или это прихоть университета?

Согласно Кодекса об образовании ст. 17 Дневная форма получения образования является основным видом занятости обучающего. Обязательно ли при поступлении в дневную аспирантуру увольняться с места работы и предоставлять трудовую книжку в отдел аспирантуры для записи об зачислении.